Logika Proposisi

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :
1.    Yogyakarta adalah kota pelajar    (Benar).
2.    2+2=4                (Benar).
3.    Semua manusia adalah fana    (Benar).
4.    4 adalah bilangan prima        (Salah).
5.    5x12=90                (Salah).

Yogyakarta adalah kota pelajar (logika proposisi)

Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1.    Dimanakah letak pulau bali?.
2.    Pandaikah dia?.
3.    Andi lebih tinggi daripada Budi.
4.    3x-2y=5x+4.
5.    x+y=2.

Andi lebih tinggi daripada Budi (bukan logika proposisi)

PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain  disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.

Contoh 1.1 :
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
          Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan dengan simbol  p ^ q

Contoh 1.2 :
Misalkan  p: hari ini hari minggu
          q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a.    Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
b.    Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
c.    Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
a.    Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p ^ q
b.    ¬p ^¬q
c.    ¬(p ^ q)

NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah -p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (-p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “^”

Contoh 1.3:
p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka p^q : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada konjungsi p^q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka p^q bernilai salah.

DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “v”.
Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

a.    INKLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh  :
p : 7 adalah bilangan prima
q : 7 adalah bilangan ganjil
p v q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

7 adalah bilangan prima atau ganjil (p v q)

b.    EKSLUSIF OR
Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh :
    p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.
    q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.
    p v q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “=>”.

Notasi p=>q dapat dibaca :
1.    Jika p maka q
2.    q jika p
3.    p adalah syarat cukup untuk q
4.    q adalah syarat perlu untuk p

Contoh 1.4:
1.    p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p => q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang  muslim.

Jika Pak Ali adalah seorang haji pastilah dia seorang muslim (p => q)

2.    p : Hari hujan.
q : Adi membawa payung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?
a.    Hari benar-benar hujan dan Adi benar-benar membawa payung.
b.    Hari benar-benar hujan tetapi Adi tidak membawa payung.
c.    Hari tidak hujan tetapi Adi membawa payung.
d.    Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.

BIIMPLIKASI

Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p <=> q” yang bernilai sama dengan (p <=>q) ^ (q <=> p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.

Contoh 1.5 :
    p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
    q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
    p <=> q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel kebenaran memuat 2n baris.